Gesuita di orientamento moderno, a differenza di Buonanni di cui pure fu maestro al Collegio Romano, fu, al pari di un altro gesuita 'progressista' come Antonio Baldigiani, in ottimi rapporti con Redi. Era nato a Roma il 13 dicembre 1623. Nel 1637 entrò nelle scuole della Compagnia di Gesù, acquisendo una conoscenza apprezzabile nel campo filosofico e logico, che gli consentì di essere chiamato ad insegnare queste discipline al Collegio Romano, negli anni tra il 1751 e il 1773.
Interessato alle scienze fisiche e matematiche, Eschinardi tenne intensi rapporti con lo Studio di Perugia, testimoniati anche dall'opera intitolata Microcosmi physicomathematici seu compendii in quo clare et breviter tractantur praecipuae mundi partes, coelum, aer, aqua, terra eorumque praecipua accidentia, pubblicata a Perugia nel 1658. Frequentatore assiduo dell'Accademia fisico-matematica fondata a Roma nel 1677 da Monsignor Giovanni Giustino Ciampini, si distinse per le frequenti "memorie" che sottoponeva ai colleghi.
Quasi tutte le opere di Eschinardi avevano l'aspetto di grossi manuali con una chiara finalità didattica ed uso interno ai collegi gesuiti. Il loro orientamento era tuttavia contraddistinto da una significativa apertura alla cultura moderna, come indicava l'attenzione per le teorie dei fautori della nuova scienza, da Copernico a Galileo, da Gassendi a Borelli. Nel 1689 Eschinardi dedicò a Redi, con un gesto che aveva un chiaro significato simbolico, il suo Cursus physico-mathematicus. Allo stesso naturalista aretino era stata indirizzato, nel 1681, un altro saggio: la Lettera al signor F. Redi, nella quale si contengono alcuni discorsi fisico-matematici. Morì a Roma il 12 gennaio 1703.