Giambattista, o Gio.Batta come veniva familiarmente chiamato, era il secondogenito di Gregorio e Cecilia de' Ghinci. Prima di lui c'era Francesco, seguivano Antonio e Diego. Era stato battezzato il 21 agosto 1631, come risulta dal registro della Fraternita dei Laici di Arezzo. Aveva studiato a Pisa, poi, dopo la laurea in legge, aveva fatto un lungo soggiorno tra Roma e Spoleto, al servizio di un cardinale, che si era protratto dal 1654 al 1659. Dopo di che era rientrato ad Arezzo ed amministrava il patrimonio familiare, mentre il padre abitava a Firenze con Francesco. Grazie all'intervento del fratello Archiatra granducale, aveva ottenuto nel 1668 la carica di Sovrintendente ai fiumi e alle strade di Arezzo.
A quanto pare, Giambattista aveva un carattere borioso e spendaccione, che non badava a spese pur di gareggiare con l'alta nobiltà aretina. Per questo gli arrivavano da Firenze in continuazione letteracce prima del padre, e poi dello stesso Francesco, per invitarlo a risparmiare, a condurre una vita ritirata, a mettere la testa a partito. "Vi ricordo stiate lontano dal giuoco, dalle promesse e dal prestare denari, giacché chi presta perde bene spesso e i denari e l'amico". Così lo ammoniva il padre nel febbraio 1664. E il figlio, di rimando: "Circa il giuoco, promesse e imprestite, io non posso fare alcuna di queste cose perché io di mio non ho una crazia, e i denari di V. S. per me son sagrati perché io non li tocco se non quanto fa bisogno per la casa e coltivazioni. Da poi che io sono a Arezzo posso vantarmi di non haver preso uno spasso, adesso me ne sto qui agli Orti, e se non son forzato per i negozi a andare a Arezzo non vi vo, e qui non vi sono conversazioni".
Il 14 novembre 1660, prima di rientrare ad Arezzo, Giambattista aveva sposato la nobile Anna Nardi, verso la quale Francesco nutrì sempre un affetto particolare. La stipula del matrimonio aveva presentato qualche difficoltà, perché i suoi aspetti finanziari erano rientrati in una partita complessa che riguardava anche l'acquisto, da parte dei Redi, della villa degli Orti, che apparteneva al fratello della sposa. Ma c'era anche dell'altro, che riguardava più direttamente le attese sentimentali di Giambattista. Leggiamo questa curiosa lettera dello zio Girolamo a Francesco del 16 ottobre 1659: "In questo punto ricevo lettere dal Sig.r Gio Batta, quale mostra che vorrebbe dar gusto al Sig.r Padre et a V. S., ma per dire a V. S. confidentemente ha paura et teme che la moglie non fossi per reggere con loro Sig.ri, et quando questo fossi, dice egli eccomi per terra; quanto alla persona sua mi scrive che è per patire, e prima morire che separarsi mai, ma della moglie non se ne può compromettere, e ne dà la ragione d
icendomi che, dovendosi partire, haver poca dote, e non sapere quello vogliono fare loro, et in che modo lo vogliono trattare, lo fa star sospeso a dir di sì et obedire alle loro volontà".
Le cose si aggiustarono, e il matrimonio fu davvero felice, anche se non fu allietato da figli maschi, ma solo da una femmina, chiamata come la nonna Maria Cecilia, che dette notevoli preoccupazioni al padre e allo zio Francesco, a causa della sua improvvisa decisione di rinunciare alla vita monacale. Anche in seguito a questa scelta lo scienziato mise gli occhi sul nipote Gregorino, figlio dell'altro fratello Diego, come erede designato del proprio patrimonio, ed indirettamente di quello di Giambattista.
Il fitto carteggio tra Francesco e Giambattista è un documento importante per ricostruire ed illuminare la vicenda umana dello scienziato aretino. Le lettere costituiscono un tracciato lungo il quale è possibile ricostruire non soltanto la storia di una famiglia dotata di notevole prestigio sociale, ma anche lacerata al suo interno da screzi, dissapori, gelosie, tanto più sconvenienti agli occhi di un uomo di Corte, che era anche consigliere ed uomo di fiducia di casa Medici.
Per molto tempo, nel corso degli anni '70, i rapporti tra lo scienziato e Giambattista furono messi seriamente a repentaglio dalle malefatte dell'altro fratello Diego, che abusava della sua carica di Provveditore alla Fortezza di Arezzo per compiere ogni genere di malversazioni a danno degli interessi del Granduca. Lo scienziato, che temeva di essere personalmente coinvolto nello scandalo, aveva l'impressione che Giambattista, invece di reprimere l'immoralità del fratello minore, se ne fosse fatto il "protettore". Per questo alternava nelle sue lettere ad Arezzo i rimproveri, le blandizie e le minacce. Ecco per esempio quello che scriveva a Giambattista il 12 dicembre 1676: "Standomene io nello stato della indifferenza voglio vivere a me medesimo con la mia quiete e con la mia tranquillità. Se voi e vostro fratello volete vivere eternamente arrabbiati tra voi come se foste nemici capitali, tal sia di voi altri. So che voi e vostro fratello avete gusto in questo modo di vivere, e par proprio che siate congiura
ti alla distruzione di codesta casa, la qual casa so di buon luogo che è ridotta all'osteria perpetua di quante pettegole sono nel contado e nella città, e pure non mi sono mai raccomandato di altro, che simili donnette non capitino in casa. [...] Baderò a vivere per me e vivermene quietamente e con comodità, non volendo più vivere negli stenti ne' quali sono vissuto e perché l'entrate mie di guadagno non mi basteranno al modo col quale voglio trattarmi farò scrivere di costà l'entrate de' miei beni. […] Credo che se fossi buono a consigliare e se non fossi stimato peggio di uno straccio, voi e vostro fratello mi avreste trattato in altra maniera".
Da parte sua Giambattista, non sapendo cosa fare, si lamentava dei suoi malanni e tribolazioni. Di rimando, Francesco gli somministrava buoni consigli per la cura del corpo e severi ammonimenti spirituali: "Chi non vuole accomodarsi e vuole inquietarsi e vuol cozzare, non fa che procacciarsi l'infelicità. E chi di mano in mano si accomoda a quel che succede, vive felice. V. S. mi scrive grandi inquietudini di questo suo male. Preghi Iddio di non aver mai peggio. Compatisco V. S., perché è di natura querulo. Non ci siam fatti da noi. Se ogni settimana avessi a scrivere a V. S. i miei malanni e le mie tribolazioni, e le avessi a scrivere in quelle forme appassionate e ardenti, nelle quali V. S. mi scrive le sue, bisognerebbe che io consumassi una risma di carta per volta. E consideri V. S. una risma di carta ridotta in lettere, e in lettere da pagarsi alla posta; consideri, dico, quanta spesa sarebbe. Non basterebbe tutte l'entrate de' primi di Firenze".
Dopo la morte di Diego, e il conseguente aggiustamento delle pendenze patrimoniali, i rapporti tra gli unici due fratelli rimasti migliorarono in modo significativo. Tra l'altro, nel corso degli anni '80 e '90 Giambattista risiedette più volte, per parecchi mesi di seguito, a Firenze, in casa di Francesco, allo scopo di seguire da vicino alcune questioni giudiziarie che riguardavano i suoi interessi ad Arezzo. In questo modo potè prendersi cura anche della sua salute, minacciata da ricorrenti malattie. Nel febbraio 1693 si recò precipitosamente a Pisa, dove lo scienziato si era improvvisamente ammalato, al punto da sembrare in imminente pericolo di vita. Da qui informò tutti i parenti, disseminati tra Siena ed Arezzo, che, allarmati, avevano fatto a gara nel pregare e far dire messe per la salvezza di Francesco. Ecco quello che Giambattista scriveva alla moglie Anna: "Arrivai sabato sera su le 4 ore di notte felicissimamente con l'aiuto di Dio in Pisa, e trovai il S.r Francesco in cattivissimo stato, ma la no
tte medesima egli cominciò qualche poco a migliorare. E così è andato seguitando sino a questa sera lunedì, in modo che questi Signori medici e cerusici danno speranza grande che egli sia per guarire. L'infiammazione al braccio dritto è scemata grandemente; la piaga però è profonda e grande; la febbre anche essa è scemata un poco, onde da tutti questi antecedenti non si può cavare conseguenza se non buona. Di tutto sia ringraziato il Signore Iddio".
Nei giorni successivi il decorso della malattia era stato benigno. Il 25 febbraio Giambattista rassicurava: "Per grazia di Dio noi habbiamo in sicuro della vita il S. Francesco". Tutto si era alla fine risolto per il meglio, tanto che il 5 marzo i due fratelli potevano partire con la Corte per Livorno: "Domattina giovedì partiamo per Livorno col Ser.mo G. Duca, e andiamo in navicello con molti commodi, e con noi viene il cerusico del medesimo G. Duca, quale si è contentato che il S. Francesco vada, giacché S. A. ha caro di haverlo appo di sé, ed in vero non sono immaginabili mai i tratti di amorevolezza e clemenza che S. A. usa col S. Francesco".