La famiglia Redi disponeva, fin dai primi anni della permanenza a Firenze, di una carrozza. Pur comportando una spesa non indifferente, era indispensabile sia al padre Gregorio, sia al figlio Francesco, entrambi medici, per assolvere alle necessità della professione e agli obblighi cortigiani. In uno degli appunti del proprio diario manoscritto, conservato presso l'Archivio di Stato di Arezzo, Gregorio ricordava infatti, alla data del 1° novembre 1649, di aver preso "a pigione una rimessa da carrozza posta in borgo S. Jacopo sopr'Arno dalla Sig.ra Maria Scarlatti Pitti per prezzo di scudi 12 l'anno da cominciarsi il suddetto giorno". E lo stesso Francesco annotava, in un protocollo del 28 aprile 1650, di aver fatto l'anatomia di "un cavallo della carrozza" che era morto "in casa nostra".
Quando nella primavera del 1672, dopo la morte della madre Cecilia, padre e figlio discussero come organizzare le rispettive esistenze, entrambi furono d'accordo nel disfarsi della carrozza. Scriveva Francesco: "A me basta di tenere una sola serva, ed un solo servitore, senza tener carrozza, la quale se piacerà a Dio si darà via, tanto se V. S. si risolva a ritirarsi in Arezzo, quanto se ella si risolva a stare a Firenze. Se ella si risolva a stare a Firenze, levata via la carrozza, mi pare che scemi alla casa una grossa spesa, e particolarmente in questi anni penuriosi". Il padre, come sappiamo, decise di tornare ad Arezzo, e il figlio, rimasto "solo" a Firenze, aveva subito venduto la carrozza e licenziato il cocchiere, dato che poteva tranquillamente servirsi delle carrozze e dei cocchieri del Granduca.
Redi teneva particolarmente a questo privilegio, perché era un segno di distinzione cortigiana. In una lettera dell'8 febbraio 1688, ad esempio, descriveva una serata passata al Teatro della Pergola insieme all'amico Stefano Bonucci, ricordando che ci era andato con la "solita carrozza di Corte". Spesso l'Archiatra granducale terminava appena di scrivere una lettera, come quella a Cestoni del 29 agosto 1681, che "la carrozza" era "all'uscio" per portarlo a Palazzo Pitti.
Redi passava abbastanza tempo in carrozza, per assolvere a tutti i propri obblighi cortigiani. Si consolava illudendosi che il cigolio delle ruote solleticasse la sua riluttante musa poetica. A Magalotti confidava che alcuni sonetti li aveva fatti "per le vie al suono delle ruote della carrozza". Altri li aveva invece buttati giù quando, sempre in carrozza, viaggiava "su per lo Stradone, o nel Prato del Poggio Imperiale".
La carrozza con le insegne medicee aveva consentito a Redi di sfoggiare tutto il proprio potere a Corte, quando la Comunità di Arezzo mandò al Granduca Cosimo III una delegazione, formata da Francesco Bacci e dallo stesso Archiatra, per ringraziare il Sovrano della decisione di ricostituire le antiche magistrature cittadine. Nel corso dell'udienza il Granduca accolse "cortesissimamente" i due ambasciatori e rivolse "espressioni veramente di stima e di amore verso la città di Arezzo". Ma leggiamo il resoconto del trasferimento della delegazione aretina a Palazzo Pitti:
"Quando l'Auditor Francesco Bacci d'Arezzo e Francesco Redi andarono a Palazzo a rappresentare al Sereniss.mo Granduca nostro Signore il suddetto aggradimento e rendimento di grazie degli aretini, vi andarono in carrozza di S. A. S. con la congiuntura che son già molti e molti anni, ed infine ne' tempi del Sereniss.mo Granduca Ferdinando Secondo, aveva S. S. A. fatto grazia a Francesco Redi, che una delle sue proprie carrozze giornalmente lo servissero in tutte tutte tutte le sue occorrenze e bisogni; ed il Redi gode di questa bella e utilissima grazia."