Dopo aver appreso ad Arezzo i primi rudimenti del sapere, il giovane Francesco studiò grammatica e retorica, nel periodo fra i tredici ed i sedici anni, prima a Prato e poi a Firenze, dove forse fu allievo dei Gesuiti. Nella capitale del Granducato andò ad abitare, con tutta la famiglia, all'inizio del novembre 1642, e vi restò per oltre cinquant'anni, fino alla morte. Della Firenze della seconda metà del Seicento egli conosceva, in pratica, ogni luogo e personaggio che avesse un qualche ruolo sociale o esercitasse un'attività di pubblico interesse.
Il 4 novembre del 1643 Redi si trasferì allo Studio di Pisa, si iscrisse alla Facoltà delle Arti e prese residenza presso il famoso Collegio Ferdinando. Dopo un normale corso di studi di quattro anni, indubbiamente favorito dalla carica di Archiatra granducale che nel frattempo era stata assegnata al padre, conseguì la laurea in medicina il 1° maggio 1647, e il 26 maggio era già rientrato a Firenze. Il 24 aprile 1648, davanti al Collegio Medico fiorentino, ottenne la licenza per la pratica medica, che gli consentì di iscriversi all'Arte dei medici e speziali.
Nel 1650, in occasione del Giubileo, Redi fece un viaggio a Roma e Napoli. Era partito da Firenze il 13 marzo, in compagnia dell'amico degli anni pratesi, Valerio Inghirami, con il quale aveva studiato a Pisa. Nella capitale del Papato alloggiò presso il conterraneo Anton Maria Fini. In una lettera del 22 marzo a Carlo Dati riferiva dell'incontro con il conterraneo Raffaello Magiotti, della partecipazione alle sedute dell'Accademia degli Umoristi, e della visita alla Biblioteca Vaticana che lo aveva letteralmente "sbalordito per la meraviglia". Una lettera di Pietro Paolo Puccianti del 27 giugno e una di Giuseppe Bonfiglioli del 1° agosto attestano la presenza di Redi a Roma per buona parte dell'estate, prima della breve visita a Napoli. Ma il Libro di Ricordi in parte smentisce questa circostanza, testimoniando inequivocabilmente che il 15 luglio egli si trovava di nuovo a Firenze.
Nel 1653 Redi proseguì i propri viaggi d'istruzione per la penisola, visitando nel corso di "due mesi" Bologna, Padova e Venezia, al seguito del Cardinale Cesare Facchinetti Della Noce. Nel 1654 effettuò un secondo viaggio a Roma, alla ricerca di codici antichi e libri rari. Il diario personale avverte che nel maggio Redi si trovava a Firenze, il 15 giugno partì per Roma e il 14 novembre fece definitivo ritorno a casa, portando con sé libri e manoscritti.
Redi aveva fin da giovane dimostrato un forte interesse per gli studi umanistici, sia nell'ambito del mondo classico che in quello moderno. Aveva cominciato a studiare le più importanti lingue europee (francese, tedesco, inglese, spagnolo e portoghese), che riuscì a possedere abbastanza bene. In seguito aveva intrapreso a studiare il greco e perfino l'arabo, che si vantava non solo di scrivere ma anche di parlare correttamente. Ne sono testimonianza i frequenti rapporti che ebbe con alcuni prigionieri saraceni, trattenuti a Firenze presso la Corte, di cui sono rimaste tracce nei suoi manoscritti. Fu proprio dalle notizie sulla generazione delle palme avute da uno di essi, di nome Chogia Abulgaith, che il naturalista aretino trasse lo spunto per indirizzare, nel 1666, all'allora Principe di Toscana Cosimo III una piccola memoria intitolata Notizie intorno alla natura delle palme .
Forte di queste diverse esperienze culturali, ed avvalendosi della posizione del padre presso il Granduca, Redi iniziò molto presto a frequentare la Corte medicea e gli am-bienti accademici fiorentini. Il 15 luglio 1655 venne ammesso all'Accademia della Crusca, anche se non aveva ancora scritto né pubblicato nulla. Svolse anche le funzioni di Arciconsolo dal 1678 al 1690, partecipando attivamente, con una serie di enigmatiche falsificazioni, alla redazione della terza edizione del Vocabola-rio, uscita nel 1691. Nel 1665 era stato nominato Lettore di lingua toscana nello Studio fiorentino, contribuendo alla formazione di alcune personalità come Vincenzo Filicaia, Benedetto Menzini e Anton Maria Salvini.
Nel 1757 Redi fu tra i promotori dell'Accademia del Cimento. Per la sua estrazione e la giovane età - aveva poco più di trent'anni - il medico aretino non apparteneva certo alla cerchia dei discepoli diretti di Galileo, e forse anche per questo il suo nome non figurava nell'elenco ufficiale degli accademici che, per iniziativa del Principe Leopoldo, cominciarono a riunirsi a Palazzo Pitti per dare nuovo slancio all'eredità del grande matematico pisano. Ma egli rivendicò sempre con energia, come un particolare titolo di merito, non solo la propria ascendenza galileiana, ma anche il fatto di essere stato "uno de' primi fondatori della famosa Toscana Accademia del Cimento".
Subito dopo la laurea Redi iniziò a praticare la professione medica sulle orme del padre Gregorio. Nello stesso tempo impostò alcune ricerche di carattere scientifico su diversi argomenti, che sarebbero stati oggetto delle pubblicazioni dei prossimi anni: i sali fattizi e le gocce di vetro, i farmaci, il veleno di vipera, la generazione spontanea degli insetti e delle rane, le galle delle piante.
Nel novembre 1666 il medico aretino venne nominato da Ferdinando II Archiatra granducale, con lo stipendio di cinquanta scudi al mese, succedendo in pratica al padre. Nello stesso tempo ottenne anche la direzione della "Spezieria" e "Fonderia", dove venivano preparate medicine e profumi molto apprezzati in tutta Europa. Entrambe le cariche gli ven-nero confermate anche da Cosimo III, quando nel 1670 salì sul trono granducale.
Fino al maggio 1672 Redi aveva abitato, con il padre e la madre Cecilia, in tre diverse case, tutte in affitto: dal novembre 1642 al novembre 1644 in "via Maggio"; poi fino al novembre 1650 "in via che va a S.to Spirito dietro a via Maggio"; infine, dal 1650 al 1672, "vicino al Canto a Soldani dirimpetto al Campanile di San Remigio su la cantonata". Quando la madre morì, nel marzo del 1672, e nel maggio il padre decise di ritirarsi per sempre ad Arezzo, insieme alle figlie monache e agli altri figli Diego e Giambattista, egli rimase "solo" a Firenze, senza mai farsi una propria famiglia. Ormai era uno scienziato famoso in tutta Europa ed un cortigiano influente e rispettato nella Firenze medicea, e poteva permettersi di vivere come e dove voleva lui. La prima cosa che fece fu infatti di cambiare casa: si trasferì in "via de' Bardi", dove rimase fino alla fine dei suoi giorni.